「二次不等式ってどうやって解けばいいの？」「符号のルールがよくわからない」と困っている高校生は多いと思います。二次不等式は定期テストでも大学入試でも頻出の単元で、正しい手順を覚えれば確実に得点できる分野です。
この記事では、二次不等式の解き方を基礎から順序立てて解説します。判別式・因数分解・グラフの形を使った解法まで、例題を交えてわかりやすく説明します。
二次不等式とは何か
二次不等式とは、二次式を含む不等式のことです。例えば「x² – 3x + 2 > 0」「2x² – 5x + 3 ≤ 0」のような形がこれにあたります。
二次不等式を解くには、対応する二次方程式の解（二次関数のx軸との交点）を求めることがスタート地点です。その解（α, β）を使って不等式の解を求めるというのが基本的な手順です。
二次不等式の解き方の基本手順
二次不等式の解法には決まったフローがあります。この流れを覚えれば、どんな問題にも対応できます。
Step1 因数分解または解の公式でαとβを求める
二次不等式を解く最初のステップは、対応する二次方程式 = 0 の解 α, β を求めることです。
例：x² – 5x + 6 > 0 → x² – 5x + 6 = 0 を解く → (x-2)(x-3) = 0 → α = 2, β = 3
因数分解できない場合は解の公式を使います。まず因数分解を試みて、できない場合に解の公式に切り替える習慣をつけましょう。
Step2 係数a（x²の係数）の符号を確認する
二次関数 y = ax² + bx + c のグラフの形は係数aの符号で決まります。
- a > 0（正）：下に凸のグラフ（U字型）
- a 0（負）：上に凸のグラフ（∩字型）
グラフの形を頭の中でイメージできると、不等式の解の範囲がすぐに判断できます。
Step3 不等号の向きとグラフから解の範囲を決める
α β として、解の範囲は以下のように決まります（a > 0 の場合）。
| 不等式の形 | 解の範囲（a > 0, α β） |
|---|---|
| (x-α)(x-β) > 0 | x < α または x > β |
| (x-α)(x-β) ≥ 0 | x ≤ α または x ≥ β |
| (x-α)(x-β) < 0 | α < x < β |
| (x-α)(x-β) ≤ 0 | α ≤ x ≤ β |
「> 0（正）のとき：グラフがx軸より上にある部分 → αの外側」「 0（負）のとき：グラフがx軸より下にある部分 → αとβの間」と覚えると混乱しにくいです。
例題で解き方を確認する
実際の問題を使って手順を確認しましょう。
例題1 x² – 5x + 6 > 0 を解け
Step1：x² – 5x + 6 = 0 を解く → (x-2)(x-3) = 0 → x = 2 または x = 3
Step2：a = 1 > 0 なので下に凸のグラフ
Step3：”> 0″ はグラフがx軸より上 → α（2）の外側
答え：x < 2 または x > 3
例題2 -x² + 4x – 3 ≤ 0 を解け
Step1：-x² + 4x – 3 = 0 → 両辺 ×(-1) → x² – 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0 → x = 1 または x = 3
Step2：a = -1 0 なので上に凸のグラフ
Step3：”≤ 0″ で上に凸 → グラフがx軸以下になるのは「αの外側（等号含む）」
答え：x ≤ 1 または x ≥ 3
a が負のときはまず「-1をかけて不等号を逆にする」か、グラフの向きを上に凸と意識して解の範囲を逆にすることで対応できます。
判別式がからむ3つのパターン
二次不等式は判別式 D = b² – 4ac の値によって解のパターンが変わります。
D > 0（異なる2実数解α, βが存在）
上記の通常のパターン。解の範囲が「αの外側」または「αとβの間」になります。
D = 0（重解 α のみ、x軸に接する）
例：x² – 2x + 1 > 0 → (x-1)² > 0 の場合、x = 1 のときだけ = 0 になるため、x ≠ 1 のすべての実数が解になります。「≥ 0」ならすべての実数が解です。
D 0（実数解なし、x軸と交わらない）
a > 0 で D 0 の場合、グラフはx軸と交わらず常にy > 0 なので：
- 「> 0」「≥ 0」：解はすべての実数
- 「< 0」「≤ 0」：解なし
この3パターンを「グラフがどこを走っているか」でイメージすると、公式を丸暗記せずに正確に判断できます。
二次不等式でよくある間違いと対策
定期テストで点を落とすよくある失敗パターンを確認しておきましょう。
不等号の向きを間違える
a 0（上に凸）の場合、「0 のとき外側」が正解ですが、「内側」と勘違いしてしまうミスが多いです。毎回グラフをラフに書いて確認する習慣をつけると間違えにくくなります。
等号の有無を見落とす
「>」と「≥」、「」と「≤」の違いは解の端点に等号が入るかどうかの差です。問題文の不等号を見直して、等号付きか等号なしかを常に確認するクセをつけましょう。
二次不等式の解き方を定着させる練習法
二次不等式は公式を丸暗記するよりも、グラフのイメージと解の範囲の関係を体感して覚えることが大切です。まず n = 2〜4 程度の簡単な問題でパターンを体に染み込ませましょう。その際、毎回ラフなグラフを紙に書きながら解くと、「a > 0 のとき正の領域は外側」「負の領域は内側」という感覚が自然に身につきます。
次に、a が負の場合の問題と D = 0・D < 0 の特殊ケースを集中的に練習します。「符号を逆にするためにマイナスをかける」操作と「グラフが上に凸になる」イメージを常にセットで確認するクセをつけると、混乱を防げます。定期テスト前には時間を計って演習し、3ステップを迷わずに速く実行できるスピードを目標にしましょう。
まとめ
二次不等式の解き方は「①方程式として解をα, βを求める→②aの符号でグラフの形を確認する→③不等号の向きとグラフから解の範囲を決める」の3ステップです。判別式の値によって解なし・すべての実数などの特殊なケースもありますが、グラフをイメージする習慣があれば対応できます。
基本パターンを繰り返し練習して、どの問題が来ても迷わずに解けるレベルまで仕上げましょう。