増減表の書き方・読み方を完全解説｜高校数学の微分を使いこなすコツ

「増減表って何？」「どうやって書けばいいかわからない」という高校生は多いと思います。増減表は高校数学の微分の単元で必ず登場する重要なツールで、関数の最大値・最小値や形を把握するために使います。

この記事では、増減表の意味・書き方の手順・読み方・よくある間違いまで、わかりやすく解説します。

増減表とは何か

まず、増減表の基本的な概念を確認しましょう。

増減表の定義と目的

増減表とは、関数が「増加している区間」と「減少している区間」を整理した表のことです。

・関数の増減：f'(x)＞0のとき関数は増加、f'(x)＜0のとき関数は減少する
・極値の特定：f'(x)=0となる点で増加から減少（極大）、または減少から増加（極小）に変わる
・グラフの形の把握：増減表を書くことで、関数のグラフの形（山・谷の位置）が一目でわかる

増減表は「関数がどのように変化するか」を視覚的にまとめたものであり、グラフを正確に描くための必須ステップです。

増減表が必要な場面

増減表は主に以下のような問題で使います。

・関数の極大・極小を求める問題
・最大値・最小値を求める問題（特に定義域が指定されている場合）
・関数のグラフを描く問題
・方程式・不等式の解の個数を議論する問題

微分の計算ができるようになったら、次のステップとして増減表の書き方を必ずマスターしましょう。

増減表の書き方の手順

ここでは、具体的な手順をステップごとに解説します。f(x) = x³ − 3x を例に使います。

ステップ1 導関数f'(x)を求める

まず、与えられた関数を微分して導関数f'(x)を求めます。

例：f(x) = x³ − 3x の場合
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x+1)(x−1)

・導関数の計算でミスをすると増減表がすべて狂うため、落ち着いて正確に微分することが大切です
・積の微分・合成関数の微分などの公式が必要な場合は事前に確認しておきましょう

ステップ2 f'(x)=0となるxの値を求める

f'(x)=0となるxの値（停留点）を求めます。

例：3(x+1)(x−1) = 0
x = −1, 1

・求めたxの値が増減表の「区切り目」になります
・定義域に制限がある場合は、定義域の端点も表に含める必要があります

ステップ3 増減表を作成する

xの値ごとにf'(x)の符号とf(x)の増減を整理します。

x： … | −1 | … | 1 | …
f'(x)： + | 0 | − | 0 | +
f(x)： ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗

・f'(x)＞0のとき「↗（増加）」、f'(x)＜0のとき「↘（減少）」と書く
・f'(x)=0の列には「0」と書き、増減の矢印の向きが変わる場合は「極大」または「極小」と記入する

ステップ4 極値を計算する

x = −1 と x = 1 のときのf(x)の値を計算して極値を求めます。

・f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2（極大値）
・f(1) = 1³ − 3(1) = 1 − 3 = −2（極小値）

完成した増減表をもとに、グラフを描いたり最大値・最小値の問題に答えたりすることができます。

増減表でよくある間違いと注意点

増減表は書き方を間違えると答えが変わってしまいます。よくあるミスを確認しましょう。

f'(x)の符号判定を間違える

増減表の命であるf'(x)の符号を正確に判定することが最重要です。

・因数分解した形で符号を判定する：3(x+1)(x−1)の場合、x＜−1では3×(負)×(負)=正
・数直線を使って符号を確認する：各区間でf'(x)の符号が正か負かを丁寧に確認する
・計算ミスを防ぐために、具体的な数値（例えばx=0を代入）で確認してみるのも有効

符号の判定は増減表の根幹です。丁寧に確認する習慣をつけましょう。

f'(x)=0でも極値にならない場合がある

f'(x)=0の点でも、必ずしも極値（極大・極小）とは限りません。

・f'(x)=0の前後で符号が変わらない場合は極値ではない（変曲点と呼ばれる）
・例：f(x) = x³ の場合、f'(0) = 0 だが、x=0は極値ではなく変曲点
・増減表で「↗ 0 ↗」のようにf'(x)=0の前後が同じ向きの場合は「極値なし」と判断する

「f'(x)=0だから必ず極値」という思い込みは危険です。前後の符号変化を必ず確認しましょう。

増減表を使いこなすための練習法

増減表は練習量が実力に直結します。効率的な練習法を紹介します。

教科書の例題から始める

まず教科書の例題を見ながら、増減表を自分の手で書いてみることが大切です。

・例題を見るときは「なぜそう書くのか」の理由を理解しながら進める
・答えを見る前に自分で一度解いてみる
・3〜5問を繰り返し解くことで手順が身につく

最初は時間がかかっても構いません。手順を体で覚えることが重要です。

入試問題で演習を積む

基礎が固まったら、過去問や演習問題集で実戦的な練習を行いましょう。

・定義域の制限がある問題・最大値・最小値を求める問題など、パターンを広げる
・間違えた問題は必ず解き直す：どのステップでミスしたかを特定する
・解答の増減表と自分が書いた増減表を見比べて違いを分析する

増減表は繰り返し練習するほど素早く正確に書けるようになります。焦らず着実に取り組みましょう。

まとめ

増減表は「導関数を求める→f'(x)=0のxを特定する→符号を判定して表を完成させる→極値を計算する」という4ステップで書けます。f'(x)の符号判定とf'(x)=0でも極値にならないケースに注意しながら練習を重ねることで、確実に使いこなせるようになります。

微分と増減表をマスターすれば、グラフの概形を描く問題や最大・最小の問題も自信を持って解けるようになります。